Варкалось. Хливкие шорьки

Пырялись по наве,

И хрюкотали зелюки,

Как мюмзики в мове.

Льюис Кзрролл.

«Алиса в Зазеркалье»

Введение

Метод конечных элементов (МКЭ) является мощным численным методом решения самых разнообразных задач, возникающих перед инженером. Исторически МКЭ развился в связи с необходимостью рассчитывать очень сложные реальные конструкции (кузова автомобилей, летательные аппараты и пр.) в задачах механики. Сложность задач требует эффективных численных методов их решения. Идея МКЭ состоит в том, что конструкцию разбивают на малые конечные области (конечные элементы), после чего неизвестные функции аппроксимируют независимым образом в каждом конечном элементе. В результате реальная конструкция заменяется конечно-элементной моделью.

Если научиться строить конечные элементы, то из них как из кирпичиков можно будет собирать самые сложные конструкции; неоднородность материала также легко может быть учтена выбором соответствующих элементов.

Идея МКЭ делает этот метод универсальным (разнообразные области применения; произвольность рассчитываемой конструкции и выбора материалов и т.д.); кроме того, МКЭ допускает автоматизацию процесса построения конечно-элементной модели. Можно назвать следующие положительные особенности МКЭ:

1) решение задач механики, переноса тепла и многих других в областях со сложной геометрией и неоднородностью материала;

2) разнообразие выбора типа конечного элемента; возможность выбирать элементы самых различных размеров и геометрий;

3) легко учитываются самые разнообразные граничные условия;

4) возможность алгоритмизации разбиения области и составления эффективных пакетов программ.

МКЭ является интегральным методом, т.е. исходит из интегральной постановки задачи (в отличии, например, от метода конечных разностей, который исходит из дифференциальной постановки задачи). Интегральная постановка задачи может быть получена по крайней мере двумя различными методами:

1) вариационный метод;

2) проекционные методы.

Так как все рассматриваемые далее приложения МКЭ допускают вариационную постановку (а в механике такая постановка к тому же является и более естественной и простой), то далее мы ограничимся только ею.

Предлагаемая теоретическая часть вовсе не предполагает фундаментального и подробного изложения МКЭ; желающим детально изучить МКЭ можно посоветовать ряд прекрасных монографий и учебников по этому вопросу ([1]-[6]). Задача более скромная - осветить ту часть МКЭ и его приложений, которые были заложены в основу алгоритмов пакета программ ИСПА.

Особое внимание будет уделено вопросам построения конечных элементов, являющихся краеугольным камнем в МКЭ.

Предлагаемая теоретическая часть инструкции к системе ИСПА построена следующим образом.

В гл.1 изложены теоретические основы механики сплошных упругих сред и вводятся основные понятия МКЭ, в особенности для задач механики.

В гл.2 рассмотрено динамическое поведение механических конструкций с помощью МКЭ.

В гл.3 изложены методы решения нелинейных задач механики, нелинейность которых может быть как физической, так и геометрической природы.

В гл.4 рассмотрено применение МКЭ к стационарным задачам теплопроводности, а в гл.5 - к нестационарным задачам теплопроводности.

В гл.6 поставлена задача термоупругости и изложен метод ее решения с помощью МКЭ.

В гл.7 рассмотрены вопросы решения линейной системы алгебраических уравнений с ленточной структурой матрицы , минимизации ширины ленты матрицы и др.

В гл.8 подробно изложены методы решения проблемы собственных значений и собственных функций для обобщенной задачи:

В конце введения приводится список используемой литературы. При ссылках на литературу в тексте мы будем ставить номер книги из списка в квадратных скобках, наприер: [6] - ссылка на книгу с номером 6 из списка. При ссылке на инструкцию пользователя к системе ИСПА будем писать: [ИСПА].

ЛИТЕРАТУРА

1. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М., 1982.

2. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М., 1975.

3. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М., 1984.

4. Сегерлинд Д. Применение метода конечных элементов. М., 1979.

5. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М., 1977.

6. Образцов И.Ф., Савельев Л.М. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. М., 1985.

7. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М., 1975.

8. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория упругости. Теоретическая физика, том 7. М., 1987.

9. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М., 1986.

10. Bathe K.J.,Ho L.W. A study of three-node triangular plate bending elements. International Journal for numerical methods in engineering., vol. 15, 1771-1812 (1980).

11. Batoz J.L. An explicit formulation for an efficient triangular plate-bending element. Int. J. for numerical methods in engineering., vol. 18, 1077-1089 (1982).

12. Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности.

13. Вольмир А.С. Статика и динамика сложных структур. М., 1989.

14. Гуляев В.И. Прикладные задачи теории нелинейных колебаний механических систем. М., 1989.

15. Икрамов Х.Д. Нессиметричная проблема собственных значений. М., 1991.

16. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. М.,1983.