1.3.3.3. Неплоская четырехузловая DKT - оболочка
Рассмотрим DKT -
элемент тонкой неплоской четырехузловой оболочки с прямыми ребрами. Этот
элемент не имеет локальной системы координат, как плоские двумерные элементы, а
описывается в глобальной системе координат 
(рис. 1.3.3.5).
Рис. 1.3.3.5
Тип элемента в [ИСПА] - 314. Угол неплоскостности 
элемента меняется в
пределах: 
.
Геометрия элемента задается параметрическими формулами:
(1.3.3.3.1)
где 
- координаты узлов при
вершинах элемента;
- билинейные функции формы
определенные на
квадрате (2x2) в плоскости 
(см. рис.1.3.3.6).
Билинейные функции
формы были определены в п.1.3.1.3.
Рис. 1.3.3.6
В каждом узле 
элемента по 6 степеней
свободы:
три компоненты вектора
перемещения узла 
, и три компоненты вектора углов поворота 
вектора нормали 
вокруг осей
.
Вектор степеней
свободы узла 
равен: 
Будем также
рассматривать вектор степеней свободы узла 
где 
- вектор
углов поворота вектора нормали в
узле к осям .
Вектор степеней
свободы элемента 
. Всего у элемента 6x4=24 степеней свободы.
Поэтому вектор степеней свободы элемента 
имеет 24
компоненты.
В п. 1.3.3.1. мы
установили вид поля вектора перемещений точек оболочки:
(1.3.3.3.2)
По аналогии с
п.1.3.1.3 для четырехузлового элемента мембраны, поле вектора мембранных
перемещений 
аппроксимируется с помощью билинейных функций
формы 
, использованных для аппроксимации геометрии
элемента (формула 1.3.3.3.1):
(1.3.3.3.3)
По аналогии с п.
1.3.2.4 для четырехузлового DKT -
элемента тонкой пластины введем дополнительные срединные узлы 
, расположенные по середине соответствующих
ребер элемента
оболочки (рис. 1.3.3.7).
Рис.
1.3.3.7
Введем в каждом
срединном узле по три зависимые степени свободы:
Тогда, как и в
п.1.3.2.4, для описания компонент векторной функции 
имеем по
8 степеней свободы 
.
Поэтому можно
аппроксимировать с помощью биквадратичных функций формы 
:
(1.3.3.3.4)
Положение срединных
узлов на квадрате в плоскости показано
на рис. 1.3.3.6.
Формулу (1.3.3.3.4) надо видоизменить, исключив
из нее введенные зависимые степени свободы. Кроме того, необходимо выбрать
такую аппроксимацию , чтобы выполнялись условия Кирхгоффа.
Как и в п. 1.3.2.4,
потребуем выполнения следующих условий:
1) выполнения условий
Кирхгоффа (1.3.3.1.18) в вершинных узлах:
(1.3.3.3.5)
2) выполнения условий
Кирхгоффа для сдвиговой деформации вдоль
сторон четырехугольного элемента в его срединных узлах:
(1.3.3.3.6)
3) линейный закон
изменения вдоль ребра 
угла
поворота 
вектора
нормали 
к
векторам 
, перпендикулярным к ребрам и вектору нормали в данной
точке ребра:
(1.3.3.3.7)
4) кубический закон
изменения вдоль ребра перемещения 
; из него следует:
(1.3.3.3.8)
Заметим, что для
неплоского четырехугольника остаются постоянными вдоль данного ребра только
вектора 
, тогда как вектора нормали к поверхности и вектора
меняются
вдоль ребра . В частности, из этого следует, что условие
(1.3.3.3.6) для 
вместе с
другими условиями не обеспечивают выполнения условий Кирхгоффа вдоль контура элемента.
Поэтому потребуем, чтобы угол неплоскостности был
достаточно малым (угол можно определить,
например, как максимальный
по величине угол между векторами нормали в
вершинных углах элемента).
Поэтому в дальнейшем
будем считать:
(1.3.3.3.9)
Тогда условия
(1.3.3.3.6) принимают обычный вид:
Теперь можно считать
условия Кирхгоффа справедливыми
вдоль контура неплоской оболочки:
Как и в п. 1.3.2.4,
это приводит для малого элемента к выполнению условий Кирхгоффа для всей поверхности,
т.е. мы получили элемент тонкой неплоской оболочки.
Преобразуем теперь
формулу (1.3.3.3.4) аппроксимации 
с помощью
(1.3.3.3.5) - (1.3.3.3.9):
(1.3.3.3.10)
где разложим 
по ортогональному
реперу 
Если потребовать,
чтобы вдоль каждого ребра проекция 
велась на репер 
в срединном узле (т.е.
здесь учтено допущение (1.3.3.3.9): ), то с помощью указанных формул закон аппроксимации 
может быть выражен
следующим образом:
(1.3.3.3.11)
где 
- вершинные узлы,
относящиеся к ребрам со срединным узлом;
Видим, что здесь аппроксимирован только
через независимые степени свободы 
.
Рассмотрим следующую
проблему. Пусть вектор степеней свободы элемента
, где 
- такой, что значения
его компонент определяются параллельным
переносом 
и поворотом 
системы узлов элемента
как целого:
где: 
- радиус-вектор узла 
. Тогда при правильной аппроксимации перемещений 
и углов 
они должны
удовлетворить условию параллельного переноса и поворота 
элемента как целого:
(1.3.3.3.12)
Из формулы (1.3.3.3.3)
аппроксимации следует:
т.е. поле отвечает указанному
требованию. Здесь мы воспользовались свойством : 
Но
для , определяемого формулой (1.3.3.3.11), это требование не
будет выполняться. Это приведет к появлению ложных деформаций элемента. Поэтому,
учитывая условие , изменим формулу (1.3.3.3.11) таким образом, чтобы условие
(1.3.3.3.12) для : 
выполнялось бы тождественно.
Это можно сделать, заменив матрицы 
в узлах на их значение в
точке интегрирования 
.
Окончательная формула
следующая (1.3.3.3.13):
Введя вектора степеней
свободы узлов , формулу (1.3.3.3.13) можно представить в виде:
(1.3.3.3.14)
где: 
- матрица функций
формы для .
Подставив в формулы
(1.3.3.1.27) для 
формулу (1.3.3.3.3)
для аппроксимации и формулу
(1.3.3.3.14) для аппроксимации , получим аппроксимационные формулы для :
(1.3.3.3.15)
Введем матрицы:
Тогда формулы
(1.3.3.3.15) примут вид:
(1.3.3.3.16)
где естественно
назвать:
- мембранная матрица
деформирования;
- изгибная матрица
деформирования.
Тогда энергии
деформаций 
и 
из (1.3.3.1.34)
примут вид:
(1.3.3.3.17)
где введены мембранная
и изгибная 
матрицы жесткости:
(1.3.3.3.18)
Интегрирование ведется
по квадрату (2x2) в плоскости (рис. 1.3.3.6).
Численное интегрирование по Гауссу матрицы можно вести с порядком
(2x2), а матрицы - (3x3).
Таким образом, мы
нашли матрицу жесткости оболочки:
Численные тесты
данного элемента показывают, что он
удовлетворительно работает при значениях угла неплоскостности в интервале: