Гибридные элементы в механике строятся на основе так называемой дополнительной энергии [3]:
(1.3.1.6.1)
где: - энергия деформации элемента, выраженная через внутренние силовые факторы, действующие в элементе;
- работа внутренних силовых факторов на границе элемента.
Варьируемый потенциал имеет вид (сравните с п. 1.1.1):
(1.3.1.6.2)
где: - работа заданных внешних сил.
При этом в вариационном принципе для гибридных элементов варьируется как степени свободы (в общем случае - перемещения и углы поворота), так и внутренние силовые факторы.
Рассмотрим произвольную мембрану, расположенную в плоскости глобальной декартовой системы координат .
Пусть: - поле перемещений мембраны;
- поле деформаций мембраны;
- поле напряжений мембраны.
Напряжения являются внутренними силовыми факторами мембраны и связаны с деформациями формулой:
(1.3.1.6.3)
где: - матрица упругости для плоского напряженного состояния (см. п. 1.3.1.1).
Энергия деформации мембраны определяется формулой (1.3.1.1.6):
(1.3.1.6.4)
где интегрирование ведется по поверхности мембраны (кроме боковой поверхности); - толщина мембраны.
Воспользовавшись формулой (1.3.1.6.3), выразим энергию деформации через внутренние силовые факторы мембраны :
(1.3.1.6.5)
Здесь мы воспользовались симметричностью матрицы упругости:
Рассмотрим элемент боковой поверхности с вектором внешней по отношению к элементу нормали (рис. 1.3.1.8).
Рис. 1.3.1.8
Единичный вектор направлен вдоль элемента в соответствии с обходом элемента против часовой стрелки.
Элемент , где: - длина элемента.
Тогда работа внутренних силовых факторов равна:
(1.3.1.6.6)
где интегрирование ведется по границе элемента ;
и - компоненты , действующие на элементе вдоль нормали и касательного вектора соответственно.
Поэтому дополнительная энергия мембраны равна:
(1.3.1.6.7)
Полученные выражения для дополнительной энергии мембраны используются при построении различных типов гибридных элементов мембраны. Рассмотрим здесь простейший треугольный гибридный элемент мембраны, представляющий собой произвольный треугольник с тремя узлами в его вершинах (рис. 1.3.1.9).
Рис. 1.3.1.9
В каждом узле по две степени свободы - перемещения вдоль осей и соответственно:
Вектор степеней свободы узла имеет две компоненты:
Вектор степеней свободы элемента имеет 3x3=9 компонент:
Для треугольного элемента мембраны поле перемещений аппроксимируется по узловым значениям линейными по полиномами (см. п. 1.3.1.2).
Поэтому поле деформаций , а с ним и поле напряжений являются константными.
Поэтому потребуем, чтобы напряжения для треугольного гибридного элемента мембраны также были постоянными.
Тогда энергия деформации (1.3.1.6.5) принимает вид:
(1.3.1.6.8)
где: - площадь треугольника.
Рассмотрим теперь интеграл работы :
Представим его в виде суммы интегралов по трем ребрам элемента:
(1.3.1.6.9)
где: - длина ребра (см. рис. 1.3.1.9):
Пусть: - угол между осью и нормалью .
- компоненты симметричного тензора второго ранга в системе координат , а
- компоненты того же тензора в системе координат , повернутой относительно на угол .
Закон преобразования компонент симметричного тензора второго ранга следующий:
(1.3.1.6.10)
Представим столбец для ребра в виде:
(1.3.1.6.11)
С помощью (1.3.1.6.10) получим следующий вид матрицы :
(1.3.1.6.12)
Представим столбец для ребра в виде:
, где (1.3.1.6.13)
Так как - компоненты вектора , то закон преобразования при повороте на угол следующий:
(1.3.1.6.14)
Кроме того, мы будем предполагать линейный закон изменения перемещений вдоль каждого ребра :
(1.3.1.6.15)
где: - параметр, непрерывно меняющийся вдоль ребра (в узле , а в узле ).
С помощью формул (1.3.1.6.14) и (1.3.1.6.15) можно получить следующий вид матрицы :
(1.3.1.6.16)
Тогда работа будет равна:
(1.3.1.6.17)
Здесь введена матрица:
(1.3.1.6.18)
так как:
Если - вектор степеней свободы элемента, то сумму можно представить в виде:
Учитывая значения интегралов и тождество , можно получить следующее выражение для матрицы :
(1.3.1.6.19)
Учитывая формулы:
Найдем с помощью (1.3.1.6.19) матрицу :
(1.3.1.6.20)
Работа будет равна:
Поэтому окончательное выражение для дополнительной энергии следующее:
(1.3.1.6.21)
В соответствии с вариационным принципом для гибридных элементов, зафиксируем вектор степеней свободы элемента и будем варьировать , ища истинное значение вектора напряжений :
или
(1.3.1.6.22)
Заметим, что из (1.3.1.6.22) следует:
(1.3.1.6.23)
где введена матрица жесткости гибридного элемента :
(1.3.1.6.24)
Из формулы (1.3.1.6.20) легко заметить, что матрица связана с матрицей деформирования (1.3.1.2.11) для элемента мембраны из п. 1.3.1.2 формулой:
(1.3.1.6.25)
Поэтому окончательно матрица жесткости построенного гибридного элемента равна:
(1.3.1.6.26)
т.е. полностью совпадает с матрицей жесткости элемента мембраны (1.3.1.2.13) из п. 1.3.1.2.
Полученное совпадение матрицы жесткости изопараметрического и гибридного треугольных элементов уже не имеет места при переходе к четырехугольному элементу. Этому вопросу посвящен следующий пункт 1.3.1.7.