1.3.1.6. Треугольный гибридный элемент мембраны

 

Гибридные элементы в механике строятся на основе так называемой дополнитель­ной энергии  [3]:

                           (1.3.1.6.1)

где:  - энергия деформации элемента, выраженная через внутренние силовые факторы, действующие в элементе;

 - работа внутренних силовых факторов на границе элемента.

Варьируемый потенциал  имеет вид (сравните с п. 1.1.1):

                           (1.3.1.6.2)

где:  - работа заданных внешних сил.

При этом в вариационном принципе для гибридных элементов варьируется как степени свободы (в общем случае - перемещения и углы поворота), так и внутренние силовые факторы.

Рассмотрим произвольную мембрану, расположенную в плоскости  глобальной декартовой системы координат .

Пусть:  - поле перемещений мембраны;

 - поле деформаций мембраны;

 - поле напряжений мембраны.

Напряжения  являются внутренними силовыми факторами мембраны и связаны с деформациями  формулой:

                            (1.3.1.6.3)

где:  - матрица упругости для плоского напряженного состояния (см. п. 1.3.1.1).

Энергия деформации мембраны  определяется формулой (1.3.1.1.6):

          (1.3.1.6.4)

где интегрирование ведется по поверхности мембраны (кроме боковой поверхнос­ти);  - толщина мембраны.

Воспользовавшись формулой (1.3.1.6.3), выразим энергию деформации  через внутренние силовые факторы мембраны :

      (1.3.1.6.5)

Здесь мы воспользовались симметричностью матрицы упругости:

Рассмотрим элемент боковой поверхности  с вектором внешней по отношению к элементу нормали  (рис. 1.3.1.8).

Рис. 1.3.1.8

Единичный вектор  направлен вдоль элемента  в  соответствии с обходом элемента против часовой стрелки.

Элемент , где:  - длина элемента.

Тогда работа внутренних силовых факторов  равна:

(1.3.1.6.6)

где интегрирование ведется по границе элемента ;

 и  - компоненты , действующие на элементе  вдоль нормали  и касательного вектора  соответственно.

Поэтому дополнительная энергия мембраны  равна:

                                                      (1.3.1.6.7)

Полученные выражения для дополнительной энергии мембраны используются при построении различных типов гибридных элементов мембраны. Рассмотрим здесь  простей­ший треугольный гибридный элемент мембраны, представляющий собой произвольный треугольник с тремя узлами в его вершинах (рис. 1.3.1.9).

Рис. 1.3.1.9

В каждом узле по две степени свободы - перемещения   вдоль осей  и  соответственно:

Вектор степеней свободы узла  имеет две компоненты:

Вектор степеней свободы элемента  имеет 3x3=9 компонент:

Для  треугольного элемента мембраны поле перемещений  аппроксими­руется по узловым значениям  линейными по полиномами (см. п. 1.3.1.2).

Поэтому поле деформаций , а с ним и поле напряжений  являются констант­ными.

Поэтому потребуем, чтобы напряжения  для треугольного гибридного элемента мембраны также были постоянными.

Тогда энергия деформации (1.3.1.6.5) принимает вид:

                                                      (1.3.1.6.8)

где:  - площадь треугольника.

Рассмотрим теперь интеграл работы :

Представим его в виде суммы интегралов по трем ребрам элемента:

                                                      (1.3.1.6.9)

где:  - длина ребра  (см. рис. 1.3.1.9):

Пусть:  - угол между осью  и нормалью .

 - компоненты симметричного тензора второго ранга в системе коорди­нат , а

 - компоненты того же тензора в системе координат , повернутой относительно  на угол .

Закон преобразования компонент симметричного тензора второго ранга следую­щий:

                                                    (1.3.1.6.10)

Представим столбец  для ребра  в виде:

                                                    (1.3.1.6.11)

С помощью (1.3.1.6.10) получим следующий вид матрицы  :

   (1.3.1.6.12)

Представим столбец   для ребра  в виде:

, где                    (1.3.1.6.13)

Так как  - компоненты вектора , то закон преобразования при повороте на угол  следующий:

              (1.3.1.6.14)

Кроме того, мы будем предполагать линейный закон изменения перемещений вдоль каждого ребра :

  (1.3.1.6.15)

где:  - параметр, непрерывно меняющийся вдоль ребра (в узле , а в узле ).

С  помощью  формул (1.3.1.6.14) и (1.3.1.6.15) можно получить следующий вид матрицы :

                                                    (1.3.1.6.16)

 

Тогда работа  будет равна:

                                                    (1.3.1.6.17)

 Здесь введена матрица:

                                                    (1.3.1.6.18)

так как:

Если  - вектор степеней свободы элемента, то сумму  можно представить в виде:

Учитывая значения интегралов  и тождество , можно получить следующее выражение для матрицы :

                                                    (1.3.1.6.19)

Учитывая формулы:

Найдем с помощью (1.3.1.6.19) матрицу :

                                                    (1.3.1.6.20)

Работа  будет равна:

Поэтому окончательное выражение для дополнительной энергии  следующее:

                                                    (1.3.1.6.21)

В соответствии с вариационным принципом для гибридных элементов, зафикси­руем вектор степеней свободы элемента  и будем варьировать , ища истинное значение вектора напряжений :

  или

      (1.3.1.6.22)

Заметим, что из (1.3.1.6.22) следует:

(1.3.1.6.23)

где введена матрица жесткости гибридного элемента :

     (1.3.1.6.24)

Из формулы (1.3.1.6.20) легко заметить, что матрица  связана с матрицей деформирования  (1.3.1.2.11) для элемента мембраны из п. 1.3.1.2 формулой:

                       (1.3.1.6.25)

Поэтому окончательно матрица жесткости построенного гибридного элемента  равна:

    (1.3.1.6.26)

т.е.  полностью совпадает с матрицей жесткости элемента мембраны (1.3.1.2.13) из п. 1.3.1.2.

Полученное совпадение матрицы жесткости изопараметрического и гибридного треугольных элементов уже не имеет места при переходе к четырехугольному элементу. Этому вопросу посвящен следующий пункт 1.3.1.7.