1.3.1.5 Устранение ложной деформации сдвига для элементов мембраны

В п. 1.1.7 был рассмотрен вопрос сходимости конечно-элементного решения к точному при сгущении конечно-элементной сетки; была сформулирована теорема сходимости для конечно-элементной сетки, состоящей из конечных элементов, удовлетворяющих условию полноты и совместных друг с другом.

Но всюду подразумевалось, что при сгущении сетки стремятся к нуля размеры конечных элементов по всем направлениям. Иная ситуация возникает, например, когда мы моделируем балку с тонкой вертикальной стенкой только одним элементом по высоте, проводя дискретизацию только по длине балки [6].

На рис. 1.3.1.7 показана такая балка, разбитая на прямоугольные элементы мембраны типа 130. Здесь: - высота балки, - длина балки, - ширина элемента.

Рис. 1.3.1.7

Сгущение сетки сводится здесь к уменьшению продольных размеров элементов, в то время как поперечные размеры, определяемые высотой балки , остаются неизменными.

При сгущении сетки имеем:

Рассмотрим для этого случая конечно-элементного разбиения балки ее изгиб в плоскости . Используем четырехугольный изопараметрический элемент из п. 1.3.1.3 главы 1.

На основе аппроксимации поля перемещений (1.3.1.3.4) имеем для компонент поля деформаций:

(1.3.1.5.1)

Так как , то члены, содержащие координату , будут давать все меньший вклад. Поэтому деформированное состояние элемента характеризуется величинами:

(1.3.1.5.2)

Основное значение при изгибе балки имеет продольная деформация , которая согласно (1.3.1.5.2) меняется по линейному закону, что соответствует технической теории изгиба балки.

Кроме того, возникает постоянная поперечная деформация (которая игнорируется в теории изгиба балки), а также деформация сдвига , меняющаяся по высоте по линейному закону. В действительности распределение по высоте является параболическим, но это расхождение с теорией может быть исправлено введением корректирующего коэффициента при вычислении матрицы жесткости.

Можно показать, что при чистом сдвиге угол поворота сечения элемента равен:

(1.3.1.5.3)

где: - точное значение угла поворота;

- соотношение сторон прямоугольного элемента.

Видим, что при

Коэффициент и есть тот самый корректирующий коэффициент, который следует использовать при вычислении матрицы жесткости.

В случае длинной балки, когда преобладающее значение имеют слагаемые, содержащие координату :

(1.3.1.5.4)

Константа характеризует распределение по высоте, так что будет того же порядка что и . Но это не отвечает теории изгиба балки, в которой:

А из формулы (1.3.1.5.3) при следует:

Видим, что в случае сильно вытянутого вдоль оси балки элемента, прямоугольный изопараметрический элемент может давать совершенно неверное решение, то есть жесткость элемента сильно завышена.

Причина здесь в ложной деформации сдвига:

Устранить ложную деформацию сдвига можно, если в (1.3.1.5.1) потребовать, чтобы деформация сдвига оставалась постоянной и равной своему значению при

Для этого заметим, что матрицу жесткости элемента мембраны :

(1.3.1.5.5)

можно представить в виде:

где:

(1.3.1.5.6)

Физический смысл такого представления матрицы жесткости мембранного элемента следующий. Матрица представляет собой вклад в матрицу жесткости , отвечающий только нормальным деформациям элемента, а матрица - вклад деформаций сдвига. При вычислении мы будем, как и раньше использовать интегрирование по Гауссу (2x2). А при вычислении мы будем использовать минимально допустимый порядок интегрирования (1x1). При интегрировании (1x1) используется значение подынтегральной функции всего в одной точке (), т.е. мы автоматически учли требуемое постоянство деформации сдвига в пределах элемента, приняв:

В случае элементов 110 и 140 для матрицы используют интегрирование по Гауссу (3х3), а для матрицы - минимально допустимый порядок интегрирования (2х2), в соответствии с таблицей 1.1.2.