1.3.1.5 Устранение ложной деформации сдвига для элементов мембраны

 

В п. 1.1.7 был рассмотрен вопрос сходимости конечно-элементного решения к точному при сгущении конечно-элементной сетки; была сформулирована теорема сходи­мости для конечно-элементной сетки, состоящей из конечных элементов, удовлетворяющих условию полноты и совместных друг с другом.

Но всюду подразумевалось, что при сгущении сетки стремятся к нуля размеры конечных элементов по всем направлениям. Иная ситуация возникает, например, когда мы моделируем балку с тонкой вертикальной стенкой только одним элементом по высоте, проводя дискретизацию только по длине балки [6].

На рис. 1.3.1.7 показана такая балка, разбитая на прямоугольные элементы мембраны типа 130. Здесь:  - высота балки,  - длина балки,  - ширина элемента.

Рис. 1.3.1.7

 

Сгущение сетки сводится здесь к уменьшению продольных размеров элементов, в то время как поперечные размеры, определяемые высотой балки , остаются неизменными.

При сгущении сетки имеем:

Рассмотрим для этого случая конечно-элементного разбиения балки ее изгиб в плоскости . Используем четырехугольный изопараметрический элемент из п. 1.3.1.3 главы 1.

На основе аппроксимации поля перемещений (1.3.1.3.4) имеем для компонент поля деформаций:

    (1.3.1.5.1)

Так как , то члены, содержащие координату , будут давать все меньший вклад. Поэтому деформированное состояние  элемента  характеризуется величинами:

                                                      (1.3.1.5.2)

Основное значение при изгибе балки имеет продольная деформация , которая согласно (1.3.1.5.2) меняется  по  линейному  закону, что соответствует технической теории изгиба балки.

Кроме того, возникает постоянная поперечная деформация  (которая игнориру­ется в теории изгиба балки), а также деформация сдвига , меняющаяся по высоте по линейному закону. В действительности распределение  по высоте является параболи­ческим, но это расхождение с теорией может быть исправлено введением корректирующего коэффициента при вычислении матрицы жесткости.

Можно показать, что при чистом сдвиге угол поворота сечения элемента  равен:

         (1.3.1.5.3)

где:  - точное значение угла поворота;

 - соотношение сторон прямоугольного элемента.

Видим, что при

Коэффициент  и есть тот самый корректирующий коэффициент, который следует использовать при вычислении матрицы жесткости.

В случае длинной балки, когда  преобладающее значение имеют слагаемые, содержащие координату :

                                                      (1.3.1.5.4)

Константа  характеризует распределение  по высоте, так что  будет того же порядка что и . Но это не отвечает теории изгиба балки, в которой:

А из формулы (1.3.1.5.3) при  следует:

Видим, что в случае сильно вытянутого вдоль оси балки элемента, прямоугольный изопараметрический элемент может давать совершенно неверное решение, то есть жесткость элемента сильно завышена.

Причина здесь в ложной деформации сдвига:

Устранить ложную деформацию сдвига можно, если в (1.3.1.5.1) потребовать, чтобы деформация сдвига оставалась постоянной и  равной своему значению при

Для этого заметим, что матрицу жесткости элемента мембраны :

(1.3.1.5.5)

можно представить в виде:

 

где:

                                                      (1.3.1.5.6)

Физический смысл такого представления матрицы жесткости мембранного элемен­та  следующий. Матрица  представляет собой вклад в матрицу жесткости , отвечающий только  нормальным деформациям элемента, а матрица  - вклад деформаций сдвига. При вычислении  мы будем, как и раньше использовать  интегрирование по Гауссу (2x2). А при вычислении  мы будем использовать минимально допустимый порядок интегрирования (1x1). При интегрировании (1x1) используется значение подынтегральной функции всего в одной точке (), т.е. мы автоматически учли требуемое постоянство деформации сдвига в пределах элемента, приняв:

В случае элементов 110 и 140 для матрицы  используют интегрирование по Гауссу (3х3), а для матрицы  - минимально допустимый  порядок  интегрирования  (2х2), в соответствии с таблицей 1.1.2.