1.3.1.3 Четырехугольный изопараметрический элемент мембраны без промежуточных узлов

В изопараметрических элементах, как геометрия, так и поля неизвестных величин задаются с помощью одних и тех же параметрических формул. Их важное положительное свойство - совместность, понятие которой было сформулировано в п. 1.1.3.

Рассмотрим изопараметрический элемент мембраны, геометрически представляющий собой произвольный четырехугольник с прямыми ребрами (рис. 1.3.1.2). Этот элемент имеет 4 узла, совпадающие с вершинами четырехугольника [6]. Тип элемента в [ИСПА] - 130.

Рис. 1.3.1.2

Введем вспомогательный квадрат (2x2) в безразмерной системе координат (рис. 1.3.1.3).

Рис. 1.3.1.3

Произвольный четырехугольник, изображенный на рис. 1.3.1.2, можно получить в результате отображения квадрата в плоскости на плоскость с помощью следующих параметрических формул:

(1.3.1.3.1)

где: (1.3.1.3.2)

Действительно: - билинейные по функции формы, обращающиеся в единицу в узле и в ноль в любом другом узле .

Поэтому формулы (1.3.1.3.1) отображают вершины квадрата (2x2) (рис. 1.3.1.3) в соответствующие им вершины четырехугольника на рис. 1.3.1.2. Так как вдоль каждой стороны квадрата - линейные функции, то и стороны квадрата отображаются в прямые ребра четырехугольника.

Для каждого узла элемента имеем вектор перемещений , а для всего элемента - вектор степеней свободы , имеющий теперь 8 компонент. Соответственно, данный конечный элемент имеет 8 степеней свободы.

Согласно определению изопараметрического элемента, данного в начале параграфа, поле перемещений аппроксимируется с помощью тех же билинейных функций формы :

(1.3.1.3.3)

Можно показать, что такая параметрическая аппроксимация обеспечивает возможность задания произвольного билинейного закона от координат :

(1.3.1.3.4)

Вектор деформации будет тогда аппроксимирован таким образом:

(1.3.1.3.5)

Здесь: - матрица деформирования элемента.

Входящие в матрицу деформирования производные нельзя найти непосредственным дифференцированием в силу параметрической зависимости от и . Поэтому для вычислений требуемых производных воспользуемся формулами:

(1.3.1.3.6)

которые в матричной форме имеют вид:

(1.3.1.3.7)

Здесь через обозначена матрица Якоби:

(1.3.1.3.8)

элементы которой находятся по формулам (1.3.1.3.1) и (1.3.1.3.2).

Тогда имеем для искомых производных следующие формулы:

(1.3.1.3.9)

где: - обратная матрица Якоби.

Матрица жесткости элемента размерностью (8x8) будет иметь вид (1.3.1.2.12):

В координатах для элементарной площади имеем:

(1.3.1.3.10)

где: - модуль определителя матрицы Якоби или Якобиан.

Поэтому для имеем:

(1.3.1.3.11)

Определение матрицы жесткости элемента свелось к вычислению двойного интеграла, которое в МКЭ осуществляется с помощью численных методов интегрирования. Этот вопрос был рассмотрен в п. 1.1.6.

Из табл. 1.1.2 пункта 1.1.6 следует, что рекомендуемое численное интегрирование по Гауссу - (2х2). Покажем теперь совместность элементов мембраны из п. 1.3.1.2 и п. 1.3.1.3.

Заметим, что как для треугольного элемента мембраны, рассмотренного нами в п.1.3.1.2, так и для четырехугольного элемента мембраны с прямыми ребрами закон изменения поля перемещений вдоль каждого ребра является линейным. Линейная функция однозначно определяется по двум параметрам - в нашем случае по значениям в двух узлах ребра . Так как узловые значения перемещений являются общими для смежных по ребру элементов, то отсюда следует непрерывность поля вдоль ребра, а это означает совместность этих элементов друг с другом.