1.3.1.3 Четырехугольный изопараметрический элемент мембраны без промежуточных узлов

 

В изопараметрических элементах, как геометрия, так и поля неизвестных величин задаются с помощью одних и тех же параметрических формул. Их важное положительное свойство - совместность, понятие которой было сформулировано в п. 1.1.3.

Рассмотрим изопараметрический элемент мембраны, геометрически представля­ющий собой произвольный четырехугольник с прямыми ребрами (рис. 1.3.1.2). Этот элемент имеет 4 узла, совпадающие с вершинами четырехугольника [6]. Тип элемента в [ИСПА] - 130.

Рис. 1.3.1.2

 

Введем вспомогательный квадрат (2x2) в безразмерной системе координат  (рис. 1.3.1.3).

Рис. 1.3.1.3

 

Произвольный четырехугольник, изображенный на рис. 1.3.1.2, можно получить в результате отображения квадрата в плоскости  на плоскость  с помощью следующих параметрических формул:

 

                                                      (1.3.1.3.1)

где:                                                      (1.3.1.3.2)

Действительно:  - билинейные по  функции формы, обращающиеся в единицу в узле  и в ноль в любом другом узле .

Поэтому формулы (1.3.1.3.1) отображают вершины квадрата (2x2) (рис. 1.3.1.3) в  соответствующие им вершины четырехугольника на рис. 1.3.1.2. Так как вдоль каждой стороны квадрата   - линейные функции, то и стороны квадрата отображаются в прямые ребра четырехугольника.

Для каждого узла элемента имеем вектор перемещений , а  для всего элемента - вектор степеней свободы , имеющий теперь 8 компонент. Соответственно, данный  конечный элемент имеет 8 степеней свободы.

Согласно определению изопараметрического элемента, данного в начале параграфа, поле перемещений  аппроксимируется с помощью тех же билинейных функций формы :

          (1.3.1.3.3)

Можно показать, что такая параметрическая аппроксимация обеспечивает возможность задания произвольного билинейного закона от  координат :

                                                      (1.3.1.3.4)

Вектор деформации будет тогда аппроксимирован таким образом:

  (1.3.1.3.5)

Здесь:  - матрица деформирования элемента.

Входящие в матрицу деформирования  производные  нельзя найти непосредственным дифференцированием в силу параметрической зависимости от  и . Поэтому для вычислений требуемых производных воспользуемся формулами:

                                                      (1.3.1.3.6)

которые в матричной форме имеют вид:

         (1.3.1.3.7)

 

Здесь через  обозначена матрица Якоби:

               (1.3.1.3.8)

элементы которой находятся по формулам (1.3.1.3.1) и (1.3.1.3.2).

Тогда имеем для искомых производных следующие формулы:

              (1.3.1.3.9)

где:  - обратная матрица Якоби.

Матрица жесткости элемента  размерностью (8x8) будет иметь вид (1.3.1.2.12):

В координатах  для элементарной площади  имеем:

           (1.3.1.3.10)

где:  - модуль определителя матрицы Якоби или Якобиан.

Поэтому для  имеем:

                                                    (1.3.1.3.11)

Определение матрицы жесткости  элемента свелось к вычислению двойного интеграла, которое в МКЭ осуществляется с помощью  численных методов интегрирования. Этот вопрос был рассмотрен в п. 1.1.6.

Из табл. 1.1.2 пункта 1.1.6 следует, что рекомендуемое численное  интегрирование  по Гауссу - (2х2). Покажем теперь совместность элементов мембраны из п. 1.3.1.2 и п. 1.3.1.3.

Заметим, что как для треугольного элемента мембраны, рассмотренного нами в п.1.3.1.2, так и для четырехугольного элемента мембраны с прямыми ребрами закон изменения поля перемещений  вдоль каждого ребра  является линейным. Линейная функция однозначно определяется по двум параметрам - в нашем случае по значениям  в двух узлах  ребра . Так как узловые значения перемещений  являются общими для смежных по ребру элементов, то отсюда следует непрерывность поля  вдоль ребра, а это означает совместность этих элементов друг с другом.