1

1.3 Двумерные элементы

1.3.1 Элементы мембраны

1.3.1.1 Понятие мембраны. Плоское напряженное состояние

После того, как мы рассмотрели элементы стержня, являющиеся одномерными, мы перейдем к изучению двумерных элементов. Изучение двумерных элементов в механике мы начнем с простейшего типа - элементов мембраны.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Мембраной мы будем называть такой плоский двумерный элемент, который может испытывать действие сил только в его плоскости.

Мембранами моделируются достаточно тонкие металлические пластинки, испытывающие растяжение или сжатие в своей плоскости.

Пусть декартовая система координат выбрана таким образом, что мембрана лежит в плоскости , а ось перпендикулярна к плоскости мембраны.

Пусть и - вектора напряжения и деформации мембраны соответственно.

Из соображений симметрии следует, что:

(1.3.1.1.1a)

Так как на поверхности мембраны (за исключением боковой поверхности) нет никаких сил, то:

(1.3.1.1.1b)

Поэтому если мембрана тонкая (а это предполагается справедливым), то условие (1.3.1.1.1) можно считать выполненным по всей толщине мембраны. Описанное напряженное состояние называют в механике плоским напряженным состоянием. С помощью формул (1.1.1.6) можно установить связь компонент вектора деформаций с компонентами вектора напряжений :

(1.3.1.1.2)

Что касается деформаций мембраны вдоль оси , то имеем:

то есть является функцией от и . В МКЭ для двухмерных элементов деформации из поверхности элемента не рассматриваются.

Поэтому мы вправе для описания плоского напряженного состояния пользоваться трехкомпонентными векторами:

(1.3.1.1.3)

Эти вектора связаны друг с другом матрицей упругости :

, где (1.3.1.1.4)

Энергия деформации мембраны будет иметь вид:

(1.3.1.1.5)

где интегрирование ведется по всему объему мембраны.

Так как мембрана плоская и предполагается постоянной толщины , то:

(1.3.1.1.6)

где интегрирование ведется по поверхности мембраны (кроме боковой поверхности).

1.3.1.2 Треугольный элемент мембраны без промежуточных узлов

Рассмотрим сначала простейший элемент мембраны, представляющий собой произвольный треугольник (рис. 1.3.1.1) с тремя узлами в его вершинах [6]. В [ИСПА] тип этого конечного элемента - 40.

Рис. 1.3.1.1

Перемещения вдоль осей и в i-ом узле элемента мембраны представляют собой его степени свободы, которых у мембраны в каждом узле по две.

Итого у треугольного элемента мембраны 6 степеней свободы.

Обозначим через вектор степеней свободы (перемещений) в узле :

, ( = 1,2,3), (1.3.1.2.1)

а через - вектор степеней свободы элемента:

(1.3.1.2.2)

Вектор имеет сейчас 6 компонент.

Пусть: - поле перемещений в пределах треугольной мембраны. Так как аппроксимация ведется по трем значениям в узлах элемента, то поле перемещений в треугольном элементе может быть представлено с помощью полного линейного полинома:

(1.3.1.2.3)

В вершинах треугольника значения функций из (1.3.1.2.3) должны совпадать с узловыми перемещениями ( = 1,2,3).

Легко понять, что функции (1.3.1.2.3) могут быть записаны в виде:

(1.3.1.2.4)

где: ; ( = 1,2,3) - функции формы треугольного элемента, причем:

1) - линейные полиномы;

2) обращаются в узле в единицу, если , и в ноль, если

3) - общее свойство функций формы.

Последнее свойство обеспечивает перемещение элемента как целого. Можно показать, что эти функции формы имеют следующие свойства [4]:

1) Функции имеют вид:

, где

(1.3.1.2.5)

Здесь: - площадь треугольника, которая может быть вычислена по формуле:

- определитель. (1.3.1.2.6)

2) Интеграл вдоль ребра 1-2 треугольника:

(1.3.1.2.7)

Здесь длина ребра 1-2; для ребер 2-3 и 3-1 аналогично.

3) Интеграл по площади треугольника:

(1.3.1.2.8)

Зная поле перемещений из (1.3.1.2.4), мы можем найти поле деформаций :

(1.3.1.2.9)

С помощью (1.3.1.2.4) получим:

где матрицы: (1.3.1.2.10)

Матрица , определяющая поле вектора деформаций элемента по вектору степеней свободы элемента называется матрицей деформирования. Согласно (1.3.1.2.5), матрица имеет вид: