1.1.7. Критерии сходимости

 

Всякое упругое тело имеет бесконечно большое число степеней свободы. В МКЭ деформированное состояние тела определяется значением конечного числа степеней свободы. Ограничение числа степеней свободы равносильно введению дополнительных внутренних связей, что приводит к завышению жесткости тела по сравнению с истинной. В этом случае перемещения, получаемые в МКЭ, будут в среднем меньше их точных значений.

При сгущении конечно-элементной сетки число степеней увеличивается. Важно установить, при каких условиях это будет сопровождаться сходимостью конечно-элемент­ного решения к точному. Существенное значение имеет также скорость сходимости. Если скорость сходимости велика, то можно получить удовлетворительное решение даже на достаточно грубой конечно-элементной сетке. Так как МКЭ является очень громоздким численным методом, вопросы сходимости в основном исследуют путем численного эксперимента на тестовых задачах, для которых известно точное аналитическое решение.

Но некоторые общие вопросы сходимости поддаются теоретическому анализу [6]. При теоретическом анализе удобнее всего судить о сходимости по величине введенного в вариационном принципе Лагранжа функционала , зависящего от поля перемещений  (см. п.1.1.1).

В случае объемных внешних сил  он имеет вид:

 

где:  - поле деформаций, зависящее от первых производных от  перемещений по координатам.

Пусть:  - точное поле перемещений тела, а  - решения МКЭ при данной сетке.

В соответствии с принципом Лагранжа - , причем:

 

Так как в  входят кроме  также и первые производные по координатам ( и т.п.), то ясно, что для выполнения указанной сходимости функционала  необходимо, чтобы поле перемещений аппроксимировалось по крайней мере полным полиномом первой степени, например, в случае трехмерного конечного элемента должно быть:

                                                         (1.1.7.1)

 

Деформации будут тогда аппроксимироваться полным полиномом не ниже нулевой степени:

                                                        (1.1.7.2)

 

Сформулированное здесь необходимое условие сходимости называют иногда условием полноты конечного элемента.

В теории МКЭ доказана теорема, утверждающая что для сходимости  достаточно, чтобы конечные элементы:

1) удовлетворяли условию полноты;

2) были совместными.

Кроме того, утверждается, что при выполнении условий теоремы сходимость  будет монотонной.

Другими словами, при сгущении сетки значение  будет уменьшаться, оставаясь при этом выше своего точного значения.

Поле перемещений  также будет монотонно сходиться к точному - .

Именно поэтому так важно условие совместности элементов.

Если же элементы несовместные,  то сходимость решения МКЭ к точному имеет место, только если в пределе (т.е. по мере сгущения сетки) в аппроксимирующих  функциях члены, создающие несовместность, будут становиться исчезающе малыми [6]. Но сходи­мость несовместных элементов, вообще говоря, уже не будет монотонной.

Скорость сходимости определяется порядком аппроксимирующих полиномов. Так если  - порядок полных полиномов в аппроксимирующих функциях, то погрешность элементов в энергии , где  - максимальный диаметр элемента [6].

Так рассмотренные в п.1.3.1.1 треугольный трехузловой элемент и в п.1.3.1.2 четырехугольный четырехузловой элемент имеют погрешность  (т.к. для них ), тогда как рассмотренный в п.1.3.1.3. четырехугольный 8-и узловой элемент с параболическими ребрами имеет погрешность   (т.к. ). Видим, что с ростом порядка полного полинома в аппроксимирующих функциях скорость сходимости значительно растет.