1.1.6. Численное интегрирование в МКЭ

При нахождении матрицы жесткости элемента или узловых сил мы сталкиваемся с необходимостью вычислять интегралы вида:

В силу сложности подынтегральных функций в общем случае взять эти интегралы аналитически не удается. Поэтому для их нахождения в МКЭ используют численные методы интегрирования. Рассмотрим сначала самый простой случай одномерного интеграла:

(1.1.6.1)

В численных методах интегрирования интеграл (1.1.6.1) заменяется приближенно на сумму:

(1.1.6.2)

где: - выбранные точки интегрирования

- весовые коэффициенты.

Различные численные методы предлагают так или иначе определять и , но все они сходятся в том, что при выполняется предельное условие:

(1.1.6.3)

Так как вычисления подынтегральной функции, например, для матрицы жесткости, является весьма трудоемкой задачей, в МКЭ наиболее желательны такие численные методы, которые обеспечивали бы наибольшую точность при наименьшем числе точек интегрирования. В этом смысле очень хорошим является метод Гаусса [6].

В методе Гаусса величины и выбираются таким образом, чтобы формула (1.1.6.2) представляла собой точное равенство для функции . Так как число варьируемых величин в методе Гаусса равно , где - число точек интегрирования, то максимальный порядок интегрирования: . Тогда величин и будут определены в результате решения системы алгебраических уравнений.

Рассмотрим примеры:

1) = 1, = 1

2) = 2 , = 3

В таблице 1.1.1 приведены результаты расчетов для .

Таблица 1.1.1

1
2
3

Рассмотрим теперь двумерный интеграл:

(1.1.6.4)

Производя в интеграле (1.1.6.4) сначала интегрирование по , получим с помощью (1.1.6.2):

(1.1.6.5)

где: - число точек Гаусса в направлении .

Численно интегрируя оставшиеся одномерные интегралы, получим из (1.1.6.5):

(1.1.6.6)

где: - число точек Гаусса в направлении .

Аналогично для тройного интеграла:

(1.1.6.7)

где: - число точек Гаусса в направлениях соответственно.

Очень важным является вопрос о выборе числа точек интегрирования. Максимально допустимый порядок интегрирования в трехмерном случае определяется требованием, чтобы интеграл:

(1.1.6.8)

представляющий собой объем элемента, вычислялся бы точно.

В противном случае даже при сгущении конечно-элементной сетки не будет сходимости конечно-элементного решения к точному вследствие неверного вычисления объема.

В таблице 1.1.2 приведены минимально допустимые и рекомендуемые числа точек Гаусса для некоторых, рассмотренных в главе 1 элементов.

Таблица 1.1.6