1.1.5 Глобальная  матрица  жесткости.  Уравнения  равновесия конструкции

 

В п. 1.1.4 было введено понятие матрицы жесткости конечного элемента  и построены уравнения связи узловых перемещений элемента  с узловыми силами :

Эти уравнения можно рассматривать как уравнения равновесия конечного элемента.

Наша задача состоит в нахождении уравнений равновесия всей конструкции, которая в результате дискретизации области моделируется конечно-элементной системой. Заметим, что вся конструкция описывается в единой глобальной декартовой системе координат , тогда как конечные элементы (только одномерные и  двумерные) описываются каждый  в своей локальной системе координат . Поэтому предварительно необходимо  осуществить  переход  от  матрицы  жесткости  в локальной системе координат  к матрице жесткости  в глобальной системе координат XYZ. Пусть:  - единичные направляющие вектора (орты) осей  глобальной системы координат , а  - единичные направляющие вектора (орты) осей локальной системы координат  .

Как и всякий вектор, вектора  можно разложить по ортогональному базису :

(1.1.5.1)

 

или в матричной форме:

 - матрица

 

перехода от глобальной системы координат (г.с.к) к локальной системе координат (л.с.к). Дальше нам будет полезна также тензорная форма записи:

                               (1.1.5.2)

(по немому индексу  ведется суммирование),

где: - индекс осей л.с.к.

 - индекс осей г.с.к.

 - орты л.с.к.

 - орты г.с.к.

Помножив формулы (1.1.5.2) справа и слева на  (по немому индексу l ведется суммирование), получим:

В силу ортогональности и единичной длины ортов имеем:

где:  - символ Кронекера.

Отсюда получим:

или:  ( - единичная матрица)

Пользуясь определением обратной матрицы , получим следующее свойство матрицы :

                              (1.1.5.3)

т.е. транспонированная матрица  равна обратной матрице .

Свойство (1.1.5.3) есть общее свойство матриц перехода для вращения системы координат.

Вектор  степеней свободы элемента  составлен из векторов степеней свободы каждого узла -  (=1,2,..., , где  - число узлов). В общем случае:

где:  - вектор перемещений узла ;

 - вектор угла поворота в узле

Таким образом, вектор  составлен из обычных векторов трехмерного пространства, каждый из которых может быть разложен по г.с.к., например:

Пользуясь формулами (1.1.5.2) и (1.1.5.3), получим:

С другой стороны, в л.с.к. имеем:

Сравнив последние две формулы, получим:

или в векторной форме:

                      (1.1.5.4)

Здесь:  - компоненты вектора перемещений узла в л.с.к., а  - компоненты вектора перемещений в г.с.к.

Аналогично для вектора угла поворота:

 

В результате вектор  в л.с.к. может быть выражен через вектор  в г.с.к.:

                         (1.1.5.5)

где:  - ленточная матрица перехода для вектора степеней свободы элемента.

Выразим теперь матрицу жесткости элемента  в г.с.к. через матрицу жесткости элемента  в л.к.с. [3]. Для этого заметим, что энергия деформации элемента  является инвариантной относительно поворота системы координат величиной, поэтому:

                                                        (1.1.5.6)

Подставив в равенство (1.1.5.6) формулу (1.1.5.5), получим:

откуда следует формула:

             (1.1.5.7)

Последняя формула определяет матрицу жесткости элемента  в г.с.к.

Матрица жесткости  определяет соотношение между силами и перемещениями в узлах элемента в глобальной системе координат, введенной для исследования конструкции в целом. Теперь осталось объединить матрицы жесткости  отдельных элементов в глобальную матрицу жесткости  для всей конструкции [3].

Рассмотрим для примера типичный узел  внутри  плоской конструкции (рис.1.1.6 (а))

(а)                                            (б)

Рис. 1.1.6

На рис.1.1.6 (а) и (б) показаны только те элементы, которые имеют своим общим узлом узел , причем на рис.1.1.6 (б)  элементы для удобства разнесены в стороны.

На рис. 1.1.6 (а) показаны сила  в узле  и перемещение узла , а на  рис. 1.1.6 (б)  показаны силы  в узле  каждого из элементов 1,2,3 и 4.

Для всех элементов перемещение узла  общее и равно .

Тогда сила  в узле  равна:

т.е. сумме сил для узла  от каждого элемента. Выделим также узел  и перемещение  в нем.

Так как справедливы равенства:

 

то имеем:

                                                        (1.1.5.8)

или

где:  - элементы глобальной матрицы жесткости.

 

Итак, из формулы (1.1.5.8) следует что:

1) диагональные компоненты глобальной матрицы жесткости вроде  равны сумме диагональных  компонентов  локальных матриц жесткости   тех  элементов, которые  имеют узел  общим узлом (в нашем случае это элементы 1,2,3 и 4);

2) недиагональные компоненты глобальной матрицы жесткости вроде  равны сумме соответствующих им недиагональных  компонент  локальных матриц жесткости  тех  элементов, которые имеют узлы  и  общими узлами (в нашем случае это элементы 2 и 3).

Формально мы можем записать:

                           (1.1.5.9)

 

где правила суммирования в (1.1.5.9) даны выше.

Матрица  - симметричная, т.е.:

В результате получаем уравнения равновесия всей конструкции:

                            (1.1.5.10)

где:  - глобальная матрица жесткости;

 - вектор силовых факторов в конструкции;

 - вектор степеней свободы конструкции.

Векторы  и  определены в г.с.к. и составлены из векторов силовых факторов  и перемещений  соответственно в узлах конечно - элементной сетки.

Размерность глобальной матрицы жесткости  равна , где - число степеней свободы всей конструкции.

Таким образом, зная силовые факторы  в узлах конечно - элементной модели конструкции, можно с  помощью  уравнений  равновесия (1.1.5.10) найти вектор степеней свободы конструкции .

Об особенностях структуры глобальной матрицы жесткости  и способах решения системы уравнений (1.1.5.10) будет говориться в главе 7.