В п. 1.1.4 было введено понятие матрицы жесткости конечного элемента и построены уравнения связи узловых перемещений элемента с узловыми силами :
Эти уравнения можно рассматривать как уравнения равновесия конечного элемента.
Наша задача состоит в нахождении уравнений равновесия всей конструкции, которая в результате дискретизации области моделируется конечно-элементной системой. Заметим, что вся конструкция описывается в единой глобальной декартовой системе координат , тогда как конечные элементы (только одномерные и двумерные) описываются каждый в своей локальной системе координат . Поэтому предварительно необходимо осуществить переход от матрицы жесткости в локальной системе координат к матрице жесткости в глобальной системе координат XYZ. Пусть: - единичные направляющие вектора (орты) осей глобальной системы координат , а - единичные направляющие вектора (орты) осей локальной системы координат .
Как и всякий вектор, вектора можно разложить по ортогональному базису :
(1.1.5.1)
или в матричной форме:
- матрица
перехода от глобальной системы координат (г.с.к) к локальной системе координат (л.с.к). Дальше нам будет полезна также тензорная форма записи:
(1.1.5.2)
(по немому индексу ведется суммирование),
где: - индекс осей л.с.к.
- индекс осей г.с.к.
- орты л.с.к.
- орты г.с.к.
Помножив формулы (1.1.5.2) справа и слева на (по немому индексу l ведется суммирование), получим:
В силу ортогональности и единичной длины ортов имеем:
где: - символ Кронекера.
Отсюда получим:
или: ( - единичная матрица)
Пользуясь определением обратной матрицы , получим следующее свойство матрицы :
(1.1.5.3)
т.е. транспонированная матрица равна обратной матрице .
Свойство (1.1.5.3) есть общее свойство матриц перехода для вращения системы координат.
Вектор степеней свободы элемента составлен из векторов степеней свободы каждого узла - (=1,2,..., , где - число узлов). В общем случае:
где: - вектор перемещений узла ;
- вектор угла поворота в узле
Таким образом, вектор составлен из обычных векторов трехмерного пространства, каждый из которых может быть разложен по г.с.к., например:
Пользуясь формулами (1.1.5.2) и (1.1.5.3), получим:
С другой стороны, в л.с.к. имеем:
Сравнив последние две формулы, получим:
или в векторной форме:
(1.1.5.4)
Здесь: - компоненты вектора перемещений узла в л.с.к., а - компоненты вектора перемещений в г.с.к.
Аналогично для вектора угла поворота:
В результате вектор в л.с.к. может быть выражен через вектор в г.с.к.:
(1.1.5.5)
где: - ленточная матрица перехода для вектора степеней свободы элемента.
Выразим теперь матрицу жесткости элемента в г.с.к. через матрицу жесткости элемента в л.к.с. [3]. Для этого заметим, что энергия деформации элемента является инвариантной относительно поворота системы координат величиной, поэтому:
(1.1.5.6)
Подставив в равенство (1.1.5.6) формулу (1.1.5.5), получим:
откуда следует формула:
(1.1.5.7)
Последняя формула определяет матрицу жесткости элемента в г.с.к.
Матрица жесткости определяет соотношение между силами и перемещениями в узлах элемента в глобальной системе координат, введенной для исследования конструкции в целом. Теперь осталось объединить матрицы жесткости отдельных элементов в глобальную матрицу жесткости для всей конструкции [3].
Рассмотрим для примера типичный узел внутри плоской конструкции (рис.1.1.6 (а))
(а) (б)
Рис. 1.1.6
На рис.1.1.6 (а) и (б) показаны только те элементы, которые имеют своим общим узлом узел , причем на рис.1.1.6 (б) элементы для удобства разнесены в стороны.
На рис. 1.1.6 (а) показаны сила в узле и перемещение узла , а на рис. 1.1.6 (б) показаны силы в узле каждого из элементов 1,2,3 и 4.
Для всех элементов перемещение узла общее и равно .
Тогда сила в узле равна:
т.е. сумме сил для узла от каждого элемента. Выделим также узел и перемещение в нем.
Так как справедливы равенства:
то имеем:
(1.1.5.8)
или
где: - элементы глобальной матрицы жесткости.
Итак, из формулы (1.1.5.8) следует что:
1) диагональные компоненты глобальной матрицы жесткости вроде равны сумме диагональных компонентов локальных матриц жесткости тех элементов, которые имеют узел общим узлом (в нашем случае это элементы 1,2,3 и 4);
2) недиагональные компоненты глобальной матрицы жесткости вроде равны сумме соответствующих им недиагональных компонент локальных матриц жесткости тех элементов, которые имеют узлы и общими узлами (в нашем случае это элементы 2 и 3).
Формально мы можем записать:
(1.1.5.9)
где правила суммирования в (1.1.5.9) даны выше.
Матрица - симметричная, т.е.:
В результате получаем уравнения равновесия всей конструкции:
(1.1.5.10)
где: - глобальная матрица жесткости;
- вектор силовых факторов в конструкции;
- вектор степеней свободы конструкции.
Векторы и определены в г.с.к. и составлены из векторов силовых факторов и перемещений соответственно в узлах конечно - элементной сетки.
Размерность глобальной матрицы жесткости равна , где - число степеней свободы всей конструкции.
Таким образом, зная силовые факторы в узлах конечно - элементной модели конструкции, можно с помощью уравнений равновесия (1.1.5.10) найти вектор степеней свободы конструкции .
Об особенностях структуры глобальной матрицы жесткости и способах решения системы уравнений (1.1.5.10) будет говориться в главе 7.