1.1.5 Глобальная матрица жесткости. Уравнения равновесия конструкции

В п. 1.1.4 было введено понятие матрицы жесткости конечного элемента и построены уравнения связи узловых перемещений элемента с узловыми силами :

Эти уравнения можно рассматривать как уравнения равновесия конечного элемента.

Наша задача состоит в нахождении уравнений равновесия всей конструкции, которая в результате дискретизации области моделируется конечно-элементной системой. Заметим, что вся конструкция описывается в единой глобальной декартовой системе координат , тогда как конечные элементы (только одномерные и двумерные) описываются каждый в своей локальной системе координат . Поэтому предварительно необходимо осуществить переход от матрицы жесткости в локальной системе координат к матрице жесткости в глобальной системе координат XYZ. Пусть: - единичные направляющие вектора (орты) осей глобальной системы координат , а - единичные направляющие вектора (орты) осей локальной системы координат .

Как и всякий вектор, вектора можно разложить по ортогональному базису :

(1.1.5.1)

или в матричной форме:

- матрица

перехода от глобальной системы координат (г.с.к) к локальной системе координат (л.с.к). Дальше нам будет полезна также тензорная форма записи:

(1.1.5.2)

(по немому индексу ведется суммирование),

где: - индекс осей л.с.к.

- индекс осей г.с.к.

- орты л.с.к.

- орты г.с.к.

Помножив формулы (1.1.5.2) справа и слева на (по немому индексу l ведется суммирование), получим:

В силу ортогональности и единичной длины ортов имеем:

где: - символ Кронекера.

Отсюда получим:

или: ( - единичная матрица)

Пользуясь определением обратной матрицы , получим следующее свойство матрицы :

(1.1.5.3)

т.е. транспонированная матрица равна обратной матрице .

Свойство (1.1.5.3) есть общее свойство матриц перехода для вращения системы координат.

Вектор степеней свободы элемента составлен из векторов степеней свободы каждого узла - (=1,2,..., , где - число узлов). В общем случае:

где: - вектор перемещений узла ;

- вектор угла поворота в узле

Таким образом, вектор составлен из обычных векторов трехмерного пространства, каждый из которых может быть разложен по г.с.к., например:

Пользуясь формулами (1.1.5.2) и (1.1.5.3), получим:

С другой стороны, в л.с.к. имеем:

Сравнив последние две формулы, получим:

или в векторной форме:

(1.1.5.4)

Здесь: - компоненты вектора перемещений узла в л.с.к., а - компоненты вектора перемещений в г.с.к.

Аналогично для вектора угла поворота:

В результате вектор в л.с.к. может быть выражен через вектор в г.с.к.:

(1.1.5.5)

где: - ленточная матрица перехода для вектора степеней свободы элемента.

Выразим теперь матрицу жесткости элемента в г.с.к. через матрицу жесткости элемента в л.к.с. [3]. Для этого заметим, что энергия деформации элемента является инвариантной относительно поворота системы координат величиной, поэтому:

(1.1.5.6)

Подставив в равенство (1.1.5.6) формулу (1.1.5.5), получим:

откуда следует формула:

(1.1.5.7)

Последняя формула определяет матрицу жесткости элемента в г.с.к.

Матрица жесткости определяет соотношение между силами и перемещениями в узлах элемента в глобальной системе координат, введенной для исследования конструкции в целом. Теперь осталось объединить матрицы жесткости отдельных элементов в глобальную матрицу жесткости для всей конструкции [3].

Рассмотрим для примера типичный узел внутри плоской конструкции (рис.1.1.6 (а))

(а) (б)

Рис. 1.1.6

На рис.1.1.6 (а) и (б) показаны только те элементы, которые имеют своим общим узлом узел , причем на рис.1.1.6 (б) элементы для удобства разнесены в стороны.

На рис. 1.1.6 (а) показаны сила в узле и перемещение узла , а на рис. 1.1.6 (б) показаны силы в узле каждого из элементов 1,2,3 и 4.

Для всех элементов перемещение узла общее и равно .

Тогда сила в узле равна:

т.е. сумме сил для узла от каждого элемента. Выделим также узел и перемещение в нем.

Так как справедливы равенства:

то имеем:

(1.1.5.8)

или

где: - элементы глобальной матрицы жесткости.

Итак, из формулы (1.1.5.8) следует что:

1) диагональные компоненты глобальной матрицы жесткости вроде равны сумме диагональных компонентов локальных матриц жесткости тех элементов, которые имеют узел общим узлом (в нашем случае это элементы 1,2,3 и 4);

2) недиагональные компоненты глобальной матрицы жесткости вроде равны сумме соответствующих им недиагональных компонент локальных матриц жесткости тех элементов, которые имеют узлы и общими узлами (в нашем случае это элементы 2 и 3).

Формально мы можем записать:

(1.1.5.9)

где правила суммирования в (1.1.5.9) даны выше.

Матрица - симметричная, т.е.:

В результате получаем уравнения равновесия всей конструкции:

(1.1.5.10)

где: - глобальная матрица жесткости;

- вектор силовых факторов в конструкции;

- вектор степеней свободы конструкции.

Векторы и определены в г.с.к. и составлены из векторов силовых факторов и перемещений соответственно в узлах конечно - элементной сетки.

Размерность глобальной матрицы жесткости равна , где - число степеней свободы всей конструкции.

Таким образом, зная силовые факторы в узлах конечно - элементной модели конструкции, можно с помощью уравнений равновесия (1.1.5.10) найти вектор степеней свободы конструкции .

Об особенностях структуры глобальной матрицы жесткости и способах решения системы уравнений (1.1.5.10) будет говориться в главе 7.