Рассмотрим для общности трехмерную модель тела. Пусть мы провели дискретизацию тела на трехмерные конечные элементы. В пределах каждого конечного элемента, в соответствии с п. 1.1.3., искомое поле перемещений :
аппроксимируется по своим значениям в узлах элемента с помощью функций формы элемента :
(1.1.4.1)
Тогда вектор деформации , определяемый через перемещения по формуле (1.1.1.4), будет иметь следующую аппроксимацию (см. п. 1.1.1):
(1.1.4.2)
Здесь: - вектор степеней свободы элемента (3xn компонент);
- матрица деформирования элемента.
Итак, согласно (1.1.4.2), вектор деформации аппроксимируется в пределах конечного элемента с помощью матрицы деформирования и вектора степеней свободы элемента .
Как мы знаем из п. 1.1.1, энергия деформации упругого тела определяется формулой (1.1.1.10):
(1.1.4.3)
где: - 6-и компонентный вектор деформации (1.1.1.4);
- матрица упругости однородной изотропной среды.
Интегрирование ведется по объему тела.
Тогда в силу аддитивности интеграла энергия деформации тела равна сумме энергий деформации элементов , на которые разбито тело:
(1.1.4.4)
С помощью (1.1.4.2) получим :
(1.1.4.5)
где: - матрица жесткости элемента.
Матрица жесткости элемента является важнейшим понятием в приложении МКЭ в механике.
Так как полученная здесь формула для матрицы жесткости является общей, выпишем ее еще раз:
(1.1.4.6)
Матрица жесткости имеет размерность , где - число степеней свободы конечного элемента.
Матрица - есть матрица деформирования элемента.
Собственно говоря, конечный элемент можно считать построенным, если построена его матрица жесткости.
Пусть: - силы, действующие в узлах конечного элемента.
Тогда работа этих сил на узловых перемещениях, в соответствии с определением работы в механике, равна:
(1.1.4.7)
где:
Как следует из принципа Лагранжа, конечный элемент будет характеризоваться потенциалом :
(1.1.4.8)
С помощью (1.1.4.5) и (1.1.4.7) получим:
(1.1.4.9)
Видим что - есть просто функция от , так что первая вариация будет просто равна дифференциалу
В соответствии с принципом Лагранжа первая вариация , а значит и дифференциал равны нулю.
Но равенство нулю дифференциала функции возможно тогда, когда равны нулю все ее первые производные, т.е. уравнение Лагранжа для МКЭ в механике примет вид:
(1.1.4.10)
В результате мы получили уравнения равновесия конечного элемента, представляющие собой систему неоднородных линейных алгебраических уравнений относительно неизвестного вектора степеней свободы элемента :
(1.1.4.11)
Итак, мы нашли, что узловые силы и узловые перемещения конечного элемента связаны между собой с помощью матрицы жесткости элемента .
Этим и определяется особое значение матрицы жесткости конечного элемента.
Заметим, что из формулы (1.1.4.6), определяющей матрицу жесткости элемента, следует ее симметричность:
(для любой пары индексов и ).
Кроме того, так как энергия деформации элемента всегда положительна и равна нулю только при отсутствии деформаций, то из (1.1.4.5) следует, что матрица жесткости элемента положительно определенная.
Этими двумя свойствами исчерпываются основные свойства матрицы жесткости элемента.