Форма и содержание объемных конечных элементов.

Александр Мухин

В 7 номере журнала "Сапр и графика" в статье "Что такое конечный элемент" было дано математическое определение конечного элемента и сказано, что внешняя форма не всегда отражает содержание. В этой статье речь пойдет об объемных (трехмерных) элементах системы "ИСПА". Все сказанное ниже относится и к двухмерному случаю (плоско-напряженное состояние), объемные элементы были выбраны только из-за большей наглядности. Проведем расчеты для консольно закрепленной балки с приложенной на конце силой. Точное решение для перемещения равно:

, где (1)

- приложенная сила,

- длина балки,

- модуль упругости,

- момент инерции сечения.

Моделировать будем 8-ми узловыми объемными элементами без промежуточных узлов. У читателя может возникнуть вопрос. Почему именно 8-ми узловые элементы, а не какие другие? В практике расчетов сплошных конструкций при создании моделей используют все элементы от 4-х до 8-ми узлов. Восьми узловой элемент является лучшим по своим аппроксимационным свойствам. В системе "ИСПА" - три семейства объемных элементов без промежуточных узлов: тип 60 - стандартный изопараметрический элемент, поддерживаемый любым конечно-элементным комплексом; тип 70 - изопараметрический элемент, с устранением ложных деформаций сдвига; тип 80 - гибридный элемент, построенный на смешанном функционале, где в качестве неизвестных варьируются и неизвестные в узлах и напряжения на границе.

Итак, возьмем размер балки 1x1x10 см, силу 100 кГ, модуль упругости , коэффициент Пуассона 0.3. Количество элементов по длине возьмем 10. Точное решение для этого случая . Расчетные данные приведены в таблице 1.

таблица 1.

Тип элемента	Перемещение	Точное решение
60	0.129	0.2
70	0.179	0.2
80	0.199	0.2

В принципе, для этого разбиения получены хорошие результаты. Соотношение сторон у одного элемента 1:1. Теперь увеличим длину балки в 10 раз, все остальное оставим без изменения. В соответствии с формулой (1) перемещение пропорционально и должно увеличиться в 1000 раз. Таким образом точное решение для второго теста . Проведя расчеты для всех типов элементов, данные сведем в таблицу 2.

таблица 2.

Тип элемента	Перемещение	Точное решение
60	5.04	200.
70	178.	200.
80	198.	200.

Можно заметить, что элементы типов 70 и 80 дают приемлимые результаты. Элемент типа 60 дает ошибку в 40 раз. В этом нет ничего странного. Таковы аппроксимационные свойства этого элемента. Соотношение сторон у одного элемента 1:10 и это не самый худший случай для реальных моделей. Например, если моделировать картер коробки передач или картер заднего моста автомобиля объемными элементами, то соотношение сторон 1:20, 1:25 для элемента вполне обычное дело.

Рис 1. Конечно-элементная модель шара с тремя сквозными отверстиями. Модель сгенерирована с использованием восьмиузловых элементов.

Если для элемента типа 60 (второй тест) увеличивать число делений, то решение медленно сходится к точному, но при этом растет время решения.

С данной проблемой точности изопараметрического объемного элемента разработчики комплекса “ИСПА” столкнулись еще в 1990 году. Были изучены причины возникновения этого явления и пути его устранения. Так в комплексе появился элемент типа 70 (элемент с устранением ложных деформаций сдвига). На создание гибридного объемного элемента ушло примерно 6 месяцев. Вначале были созданы математические модели двухмерных гибридных элементов, на которых были получены хорошие результаты, а затем все это было обобщено на трехмерный случай. Результаты по точности превзошли все ожидания. Время решения у этих элементов одинаковое и это дало возможность моделировать корпусные конструкции объемными элементами.

Теперь перейдем к 4-х узловому объемному элементу - тетраэдру. В последние годы фирмы-дилеры западных конечно-элементных комплексов на выставках и семинарах показывают автоматические генераторы конечно-элементных сеток. Идея состоит в следующем - в CAD системе создается поверхностная модель, затем она передается в генератор сеток и там автоматически создается конечно-элементная модель из тетраэдров. Выглядит все это эффектно, на то она и реклама. Неискушенный пользователь начинает думать, что используя данный подход будут решены проблемы создания математических моделей.

рис 2. Конечно-элементная модель фланца объемными элементами.

Давайте промоделируем наши тесты тетраэдральными элементами. Для первого теста возьмем 120 элементов. Полученные данные сведены в таблицу 3.

таблица 3.

Тип элемента	Перемещение	Точное решение
60	0.06	0.2
70	0.06	0.2
80	0.06	0.2

Нужно сказать, что тетраэдральный элемент нельзя улучшить. Поэтому тетраэдр любого типа 60, 70 или 80 дает одинаковые результаты. Для второго теста при 120 элементах получаем результат 2.11 см. Будем увеличивать количество элементов и фиксировать результаты (таблица 4).

таблица 4.

Количество элементов	Перемещение	Точное решение
120	2.11	200.
1200	64.	200.
9600	76.	200.

Мы видим, что данные получаются неутешительные. Даже при очень большом количестве элементов решение далеко от точного.

Автор статьи, ни в коем случае не нападает на алгоритмы автоматической генерации. Просто важно понимание точности используемых конечных элементов.

Идеально было бы создать автоматический генератор сеток произвольной области на 8-ми узловые элементы, но такой программы пока нет. В системе "ИСПА" используется автоматизированный способ создания моделей. Один из вариантов состоит в следующем. В CAD системе создается твердотельная или поверхностная модель. Затем она передается в конечно-элементный редактор, где строится макро-элементная модель. Задав числа делений на ребрах макромодели, пользователь автоматически получает конечно-элементную сетку. В этом случае количество узлов у получаемых элементов задается пользователем. На рисунке 1 показана конечно-элементная модель шара с 3-мя сквозными отверстиями, построенная по изложенной методике. За внешней простотой этой модели, скрывается трудоемкость создания, если использовать традиционные подходы.

рис 3. Увеличенный фрагмент зоны крепления фланца.

Также в качестве примера хочется привести конечно-элементную модель фланца (рис 2). Наибольшую сложность при создании вызывает зона отверстия с приливом (рис 3). В качестве конечного элемента при создании модели, был выбран 8-ми узловой элемент. В тех зонах, где нельзя использовать 8-ми узловые элементы система автоматически создала элементы с меньшим количеством узлов.