Решение нелинейных задач

в системе ИСПА.

Часть 3

Александр Николаевич Мухин

Александр Александрович Мухин

 

В данной статье речь пойдет о решении задачи начальной устойчивости в системе ИСПА.

В статье “Решение нелинейных задач в системе ИСПА. Часть 2.” описано решение геометрически нелинейной задачи. Введено понятие матрицы тангенциальных жесткостей .

В “Теоретических основах ИСПА” показано, что полная матрица тангенциальных жесткостей  равна

                               (1)

где:

 - матрица жесткости при малых деформациях,

 - матрица начальных напряжений,

- матрица больших деформаций.

Таким образом

(2)

Матрица  не содержит перемещений в явном виде и пропорциональна величине напряжений . При решении геометрически нелинейной задачи на первом шаге вычислений  определяется из линейного решения, то в соответствии с (2)

                            (3)

Поскольку при этом

Если нагрузку увеличить в  раз, то можно найти, что существует нейтральное состояние равновесия, такое, при котором 

                     (4)

Решая типичную задачу о собственных значениях, можно найти .

Это не что иное, как классическая задача начальной устойчивости (выпучивание стоек, пластин, оболочек и т.д.).

Описанная задача начальной устойчивости может дать физически правильное решение только в том случае, если деформации определенные из упругого  решения, таковы, что матрица больших деформаций  тождественно равна нулю. Это может быть только в ограниченном числе представляющих практический интерес случаев, например, идеально прямая стойка под действием осевой силы, замкнутая сфера, нагруженная равномерно распределенным давлением, и т. д. Полученные с помощью этого метода выводы о начальных несовершенствах применимы только в тех случаях, когда возможна бифуркация равновесия. Для технических приложений такие задачи необходимо исследовать, используя полную матрицу тангенциальных жесткостей  (читайте статью “Решение нелинейных задач в системе ИСПА. Часть 2”).

Задачи устойчивости для оболочек имеют большое значение в расчетной практике. При исследовании оболочек матрицу тангенциальных жесткостей , как правило, всегда следует определять с учетом действительных перемещений, поскольку, за исключением самых тривиальных случаев, при заданной нагрузке мембранные и изгибные эффекты всегда взаимосвязаны. Однако, вычисляя матрицу начальной устойчивости  для упругих напряжений, иногда можно получить полезные результаты относительно коэффициента устойчивости . В классических работах по выпучиванию оболочек почти исключительно рассматривается именно такая начальная устойчивость. Однако истинная критическая нагрузка может быть значительно ниже нагрузки, соответствующей начальной устойчивости. Поэтому важно понять, хотя бы приближенно, влияние деформаций.

 

В новой версии ИСПА решение задачи начальной устойчивости проводится с использованием  нового разреженного  решателя (sparse direct solver). Решение задачи начальной устойчивости сводится к последовательному решению линейных задач. При этом на каждом шаге изменяется правая часть. Один раз проводится полная численная факторизация матрицы жесткости и далее на каждой итерации проводится работа с N правых частей. Именно это обеспечивает высокую скорость работу алгоритма.

Решение будем проводить на компьютере с процессором Intel I7 – 3930, 64 Гб оперативной памяти. Операционная система WINDOWS 7 (64 разряда).

На рис. 1 представлена модель колеса. Модель автоматически сгенерирована с использованием 4-х узловых тетраэдров. Содержит 362 169 узлов и  1 438 639 элементов   (1 084 470 уравнений). Количество закрепленных степеней свободы – 2 037.

Рис 1.

Время решения линейной статической задачи 42 сек. Время полной численной факторизации матрицы жесткости составляет 5.7 сек.

Будем определять 20 первых форм начальной устойчивости. Время работы программы – 34 сек.  Количество итераций – 11.;

 

На рис 1а, 1б, 1в, 1г представлены наиболее интересные формы начальной устойчивости.

 

Рис 1а.

 

Рис 1б.

 

 

Рис 1в.

 

Рис 1г.

На рис 2 представлена конечно-элементная модель мостового перегружателя. Модель автоматически сгенерирована с использованием 4-х узловых тонких оболочек. Время автоматической генерации такой модели составляет 14 сек.

Модель  содержит 330 588 узлов и 340 090 элементов (1 812 558 уравнений). Количество закрепленных степеней свободы – 12.

 

Рис 2.

Время решения линейной статической задачи 28 сек. Время полной численной факторизации матрицы жесткости составляет 3.7 сек.

Будем определять 20 первых форм начальной устойчивости. Время работы программы – 1 мин 10 сек.  Количество итераций – 19. 

На рис 2а, 2б, 2в, 2г, 2д представлены наиболее интересные формы начальной устойчивости.

 

Рис 2а.

 

Рис 2б.

 

Рис 2в.

 

 

Рис 2г.

 

 

 

Рис 2д.

 

Анализируя формы начальной устойчивости опытный расчетчик может определить “слабые” места конструкции.

 

Любой желающий может взять систему ИСПА в бесплатную опытно-промышленную эксплуатацию и проверить скорость и точность работы ИСПА на своем компьютере. Размерность решаемых задач в ИСПА, на момент написания данной статьи, составляет до 10 000 000 узлов, 10 000 000 элементов, 50 000 000 степеней свободы (уравнений). Система ИСПА при решении больших задач использует до 48 физических ядер процессора при решении задач под WINDOWS.

 

Апрель 2016 г.