Решение нелинейных задач

в системе ИСПА.

Часть 1

Александр Николаевич Мухин

Александр Александрович Мухин

 

Принцип работы разреженного прямого решателя в системе ИСПА описан в  статье “Новый разреженный прямой решатель (sparse direct solver) в системе ИСПА”. На сегодняшний день ИСПА решает линейные задачи на порядок быстрее, чем NASTRAN и ANSYS. Одну и ту же задачу на одном компьютере с той же точностью. Модели создавались в NX и запускались разные комплексы (ИСПА, NASTRAN, ANSYS) для решения линейной статической задачи. Дело в том, что разработчики системы ИСПА запрограммировали возможность записи конечно-элементной модели созданной в NX в формате ИСПА. Большие модели ИСПА решает на порядок быстрее. Результаты решения совпадают один в один.

Поэтому, в новой версии ИСПА решение нелинейных задач проводится с использованием  нового разреженного  решателя (sparse direct solver). Решение любой нелинейной задачи в МКЭ сводится к последовательному решению линейных задач. При этом на каждом шаге изменяется или матрица (жесткости, больших перемещений и т.д.) или правая часть или и матрица и правая часть одновременно. Если изменяется только правая часть, то факторизация матрица проводится один раз и дальше обрабатывается только измененная правая часть. Можно, конечно, на каждом шаге запускать итерационный решатель, но это существенно медленнее.

Именно поэтому разработчики системы ИСПА потратили большое количество времени на разработку быстрого разреженного прямого решателя (sparse direct solver) .

В данной статье рассмотрим решение задачи на собственные колебания механической системы.

Запишем  глобальные "уравнения движения" механической системы:

                        (1.)

где:

 - глобальная матрица масс;

 - глобальная матрица жесткости;

 - глобальные вектора сил и степеней свободы,

Матрицы  и  являются симметричными и положительно определенными.

Уравнения движения (1.) являются основными..

Собственные колебания механической системы совершаются при отсутствии внешних сил. Полагая в "уравнениях движения" (1.) правую часть  равной нулю, получим уравнения собственных колебаний:

                               (2)

Решение уравнений (2.) можно искать в виде гармоник с частотой колебания :

                                                                              (3)

Так как справедливы равенства:

то после подстановки  или  в уравнения (2.) получим:

                           (4)

В уравнении (4) члены, зависящие от времени, опущены. Система уравнений (4) имеет фундаментальное значение в теории колебаний. Ее решение позволяет найти собственные частоты  и собственные формы колебаний  механической  системы, , где:  - число степеней свободы.

Общее решение системы уравнений (2.) имеет вид:

 (5)

Заметим, что в силу положительной определенности матриц  и  из (4.) следует:

                                (6)

т.е. собственные частоты , () являются действительными (положи­тельными) числами, как и должно быть для консервативной системы. За исключением особых случаев,

Таким образом, задача нахождения собственных колебаний механической системы свелась к задаче определения собственных частот и собственных форм для системы алгебраических уравнений (4):

                             (7)

 

Как правило, в инженерной практике требуется найти низшие частоты, поэтому  в системе ИСПА реализованы следующие методы определения собственных частот и собственных форм:

1) Метод обратных итераций подпространства;

2) Алгоритм Ланцоша;

3) Модифицированный алгоритм Ланцоша;

Во всех этих методах один раз проводится полная численная факторизация матрицы жесткости и далее на каждой итерации проводится работа с N правых частей. Именно это обеспечивает высокую скорость работы этих алгоритмов.

Решение будем проводить на компьютере с процессором Intel I7 – 3930, 64 Гб оперативной памяти. Операционная система WINDOWS 7 (64 разряда).

На рис. 1 представлена модель незакрепленного кубика, каждая сторона которого разбита на 40 конечных элементов (8-ми узловые объемные конечные элементы).  Модель  содержит 68 921 узлов и  64 000 элементов  (206 763 уравнений). Количество закрепленных степеней свободы – 0.

Рис 1.

Будем определять 50 первых собственных частот. Так как кубик не закреплен , то первые шесть собственных частот равны нулю. Время полной численной факторизации матрицы жесткости для всех этих методов составляет 12 сек.

1) Метод обратных итераций подпространства. Время работы – 1 мин 44 сек.  Количество итераций – 13.  Размер подпространства – 100 векторов ;

2) Алгоритм Ланцоша. Время работы – 2 мин 26 сек.  Количество итераций – 162;

3) Модифицированный алгоритм Ланцоша. Время работы – 35 сек.  Количество итераций – 16  ;

Первая упругая форма и 50-ая форма собственных колебаний кубика представлены на рис 1а и 1б соответственно.

 

Рис 1а.

 

Рис 1б.

 

500 первых собственных частот.

Модифицированный алгоритм Ланцоша. Время работы – 3 мин 10 сек.  Количество итераций – 122  ;

500-ая форма собственных колебаний кубика представлены на рис 1в.

 

Рис 1в.

Данный пример интересен тем, что любой желающий, легко сможет сделать такой же кубик в другом комплексе и сравнить скорость работы. И еще один интересный момент. В случае незакрепленной конструкции решить линейные уравнения итерационным методом не получится. В данном случае эффективно работают только прямые методы.

На рис. 2 представлена модель колеса. Модель автоматически сгенерирована с использованием 4-х узловых тетраэдров. Содержит 362 169 узлов и  1 438 639 элементов   (1 084 470 уравнений). Количество закрепленных степеней свободы – 2 037.

Рис 2.

Будем определять 50 первых собственных частот. Время полной численной факторизации матрицы жесткости для всех этих методов составляет 6 сек.

1) Метод обратных итераций подпространства. Время работы – 2 мин 41 сек.  Количество итераций – 10. ;

2) Алгоритм Ланцоша. Время работы – 2 мин 32 сек.  Количество итераций – 108 ;

3) Модифицированный алгоритм Ланцоша. Время работы – 1 мин 19 сек.  Количество итераций – 17  ;

50-ая форма собственных колебаний колеса представлены на рис 2а.

 

Рис 2а.

 

На рис 3 представлена конечно-элементная модель мостового перегружателя. Модель автоматически сгенерирована с использованием 4-х узловых тонких оболочек. Время автоматической генерации такой модели составляет 14 сек.

Модель  содержит 330 588 узлов и 340 090 элементов (1 812 558 уравнений). Количество закрепленных степеней свободы – 12.

Рис 3.

Будем определять 50 первых собственных частот. Время полной численной факторизации матрицы жесткости для всех этих методов составляет 4.7 сек.

1) Метод обратных итераций подпространства. Время работы – 10 мин 26 сек.  Количество итераций – 27 ;

2) Алгоритм Ланцоша. Время работы – 2 мин 51 сек.  Количество итераций – 94;

3) Модифицированный алгоритм Ланцоша. Время работы – 1 мин 56 сек.  Количество итераций – 17  ;

47-ая форма собственных колебаний мостового перегружателя представлены на рис 3а.

 

Рис 3а.

 

Любой желающий может взять систему ИСПА в бесплатную опытно-промышленную эксплуатацию и проверить скорость и точность работы ИСПА на своем компьютере. Размерность решаемых задач в ИСПА, на момент написания данной статьи, составляет до 10 000 000 узлов, 10 000 000 элементов, 50 000 000 степеней свободы (уравнений). Система ИСПА при решении больших задач использует до 48 физических ядер процессора.

 

Март 2016 г.