Форма и содержание объемных конечных элементов.

Часть 2.

Александр Мухин

 

Так как в системе ИСПА появились объемные конечные элементы с промежуточными узлами, то возникла необходимость написать продолжение статьи.  Сразу оговорюсь, что в данной статье будут рассматриваться только “чистые” изопараметрические элементы. Элементы с “химией” здесь исследоваться не будут.

Так же как и в первой статье проведем расчеты для консольно закрепленной балки с приложенной на конце силой для двух семейств объемных КЭ. 

Сначала моделировать будем объемными элементами без промежуточных узлов от 4-х до 8-ми узлов.

Итак, возьмем размер балки 1x1x10 см, силу 100 кГ, модуль упругости , коэффициент Пуассона 0.3. Количество элементов по длине возьмем 10. Точное решение для этого случая . Расчетные данные приведены в таблице 1.

 

таблица 1.

Тип элемента

Перемещение

Точное решение

4-х узловые

0.062

0.2

5-ти узловые

0.106

0.2

6-ти узловые

0.122

0.2

7-ми узловые

0.074

0.2

8-ми узловые

0.129

0.2

 

Теперь моделировать будем объемными элементами с промежуточными узлами от 10-ти до 20-ти узлов.

Расчетные данные приведены в таблице 2.

 

таблица 2.

Тип элемента

Перемещение

Точное решение

10-ти узловые

0.198

0.2

13-ти узловые

0.186

0.2

15-ти узловые

0.195

0.2

18-ми узловые

0.191

0.2

20-ми узловые

0.198

0.2

 

 

Соотношение сторон у одного элемента 1:1. Теперь увеличим длину балки в 10 раз, все остальное оставим без изменения. В соответствии с формулой (1) из первой статьи перемещение пропорционально  и должно увеличиться в 1000 раз. Таким образом, точное решение для второго теста . Проведя расчеты для элементов без промежуточных узлов, данные сведем в таблицу 3.

 

таблица 3.

Тип элемента

Перемещение

Точное решение

4-х узловые

2.11

200.

5-ти узловые

3.52

200.

6-ти узловые

5.03

200.

7-ми узловые

3.01

200.

8-ми узловые

5.04

200.

 

Из таблицы видно, что данное семейство объемных элементов обладает повышенной жесткостью на изгиб. Именно поэтому разработчики многих комплексов пытаются улучшить данные элементы. Я бы даже сказал подогнать результаты решения под теорию балок. Например, такой элемент есть в комплексе ANSYS. Правда при этом разработчики забывают сказать к каким побочным эффектам это приводит при решении задач теории упругости. Чудес на этом свете не бывает.

Посмотрим какие результаты будут если моделировать объемными элементами с промежуточными узлами.

Расчетные данные приведены в таблице 4.

 

таблица 4.

Тип элемента

Перемещение

Точное решение

10-ти узловые

196.5

200.

13-ти узловые

186.3

200.

15-ти узловые

193.9

200.

18-ми узловые

183.6

200.

20-ми узловые

199.2

200.

 

Вот это совсем другое дело. Совсем другие результаты. Напомню, что в системе ИСПА реализованы стандартные изопараметрические объемные элементы с промежуточными узлами. То есть при измельчении сетки перемещения и напряжения будут стремиться к точному значению.

Так как элементы без промежуточных узлов показали плохие результаты для данного теста, попробуем измельчить сетку. Сделаем размер конечного элемента 1х1х1, то есть разобьем балку на 100 конечных элементов.

Расчетные данные приведены в таблице 5.

 

таблица 5.

Тип элемента

Перемещение

Точное решение

4-х узловые

61.

200.

5-ти узловые

105.

200.

6-ти узловые

121.

200.

7-ми узловые

73.

200.

8-ми узловые

129.

200.

 

Результаты все равно оставляют желать лучшего. До точного решения еще очень далеко.

Так же у объемных элементов с промежуточными узлами хорошие свойства для аппроксимации геометрии. Для примера промоделируем пластину с отверстием 4-мя элементами. На рисунке 1 модель из четырех 8-ми узловых элементов, на рисунке 2 из четырех 20-ти  узловых элементов.

 

 

Рис 1. Пластина с отверстием. Конечно-элементная модель из четырех 8-ми  узловых элементов.

 

 

Рис 2. Пластина с отверстием. Конечно-элементная модель из четырех 20-ти  узловых элементов.

 

 

Получается, чтобы правильно описать геометрию 8-ми узловыми элементами, нужно генерировать большое количество элементов, а это приводит к увеличению времени расчета. Для примера можно предложить вот такое разбиение пластины (рисунок 3).

 

 

Рис 3. Пластина с отверстием. Конечно-элементная модель из 8-ми  узловых элементов.

 

Как видно из таблицы 4 очень хорошие результаты показал 10-ти узловой тетраэдр. Данный элемент используется при автоматической генерации сетки моделей произвольной формы. Элемент хорош тем, что при создании модели нет ручного труда. Например, для создания моделей на рисунках 4 и 5 требуется 2-3 минуты машинного времени. Расчетчик даже покурить не успеет. Имея большой опыт в создании конечно-элементных сеток могу сказать, что создания моделей подобной сложности уйдут недели ручного труда.

 

 

 

 

Рис 4. Конечно-элементная модель цилиндра из 10-ти узловых тетраэдров.

 

 

Рис 4. Конечно-элементная модель патрубка из 10-ти узловых тетраэдров.

 

Но все-таки самые качественные модели можно и нужно создать с использованием 20-ти узловых объемных элементов. Если это позволяет сложность геометрии и время отведенное на расчетный проект. Под качеством в данном случае понимается меньшее время расчета для получения точного решения. Так же часто в расчетах необходимо создавать симметричную конечно-элементную сетку. На тетраэдрах с использованием автоматического генератора не всегда бывает возможно получить симметричную сетку.

 Но еще не создано автоматического генератора моделей произвольной формы для 20-ти узловых объемных элемента. Поэтому в системе ИСПА предусмотрен полуавтоматический подход для создания КЭ сеток. Это так называемый макроэлементный подход. В предыдущих статьях он довольно подробно описан. Удобство состоит еще и в том, что меняя тип конечного элемента в макро элементе автоматически генерируется новая конечно-элементная модель. Опять же только в качестве примера привожу модель, показанную на рисунке 5.

 

 

Рис 5. Конечно-элементная модель из 20-ти узловых элементов.

 

В заключении приведу конечно-элементную модель тонкостенного шнека, созданную автоматическим генератором из 10-ти узловых тетраэдров (рисунок 6, 7). В модели нет ручного труда. Время генерации около 5-ти минут. Точности 10-ти узлового тетраэдра достаточно для решения данной задачи.

 

 

Рис 6. Конечно-элементная модель тонкостенного шнека из 10-ти узловых тетраэдров.

 

 

Рис 7. Фрагмент конечно-элементная модель тонкостенного шнека.

 

 

Нужно сказать, что для расчета моделей построенных из элементов с промежуточными узлами требуется большое количество машинного времени. Для ускорения расчета в ИСПА предусмотрена возможность расчета на видеоускорителях фирмы NVIDIA. Так называемые GPU расчеты. Это позволяет ускорить расчет в десятки раз. Но это отдельный разговор и этому будет посвящена отдельная статья.

Май-июнь 2010 г.