Динамические расчеты в системе ИСПА
В журнале «САПР и
графика» N 3 за 1998 г., прозвучал анонс о создании блока
динамических расчетов в рамках конечно-элементной системы ИСПА. Прошло более 2
лет и за это время были созданы, прошли опытную эксплуатацию и продаются на
коммерческой основе фирмой “АЛЕКСОФТ” модули динамического расчета конструкций.
Зададим себе вопрос “Что такое динамический расчет конструкции?” и постараемся
на него ответить в этой статье. Для этого придется написать некоторые формулы.
Запишем основное
уравнение динамики в матричном виде:
(1)
где:
- матрица масс,
- матрица демпфирования,
- матрица жесткости,
- соответственно вектор
ускорения, скорости и перемещения,
- вектор правой части (нагрузка, зависящая от
времени).
Постараемся упростить
данное уравнение и сразу скажем, что член 
учитывает внутреннее трение в
конструкции. Как показывает практический опыт, им можно пренебречь. Это не
означает, что внутреннее трение не учитывается при расчете по системе ИСПА.
Просто, так легче понять суть данного уравнения. Перепишем то, что осталось еще
раз:
(2)
Физическая сущность
членов уравнения (2) довольно проста. 
- учитывает
инерционные свойства конструкции, 
- упругие (линейные
или нелинейные) свойства конструкции. Если идти дальше по пути упрощения
данного уравнения и убрать член 
, то получится обычное статическое уравнение 
. Делаем
вывод, что статика - частный случай динамики, когда не учитываются инерционные
свойства конструкции. А если из уравнения (2) убрать 
- то получится закон
Ньютона, который все мы проходили в школе 
. И делаем еще один
вывод, что закон Ньютона не учитывает упругие свойства объекта.
“Все это, конечно,
правильно, - скажет читатель, - но как решается данное уравнение?”. Наберемся
терпения и пойдем дальше.
Итак, в нашем уравнении
неизвестными являются 
- ускорение, скорость
и перемещение, а известными параметрами - 
- матрица масс,
жесткости и вектор нагрузки, зависящий от времени. Считается, что вектор нагрузки
задан, а вот матрицы 
и 
нужно как-то получить
(создать), прежде чем произвести расчет. Одним из способов создания этих матриц
является конечно-элементное представление конструкции, т.е. создание
конечно-элементной модели.
Когда матрицы 
и 
получены, остается
только проинтегрировать уравнение (2) тем или иным способом и получить 
на каждом шаге
интегрирования. В данном случае подразумевается численное интегрирование, так
как для произвольного вида функции 
аналитические методы не
работают. Еще раз отметим, что способ решения уравнения (2) не связан с
конечно-элементным анализом.
Сразу нужно сказать, что
размерности матриц 
и 
получаются довольно большие и
время решения оставляет желать лучшего. Также, на каждом шаге интегрирования,
(а их немало) в базе данных сохраняются ускорение, скорость и перемещение той
же размерности, что в некоторых случаях приводит к переполнению дискового
пространства.
Получается, что и время
решения большое и требуется компьютер с большими ресурсами. Но выход есть.
Уравнение (2) записано в обычной декартовой системе координат. Перейдем в
другую систему координат. Для этого введем преобразование 
, где 
- собственные вектора
конструкции, 
- вектор обобщенных
перемещений. Такое же преобразование сделаем для ускорения Уравнение (2) теперь
можно записать в виде: 
.
Домножив левую и правую часть полученного уравнения на транспонированные
собственные вектора 
, получим:
(3)
Если собственные вектора
предварительно были отнормированы
по массе, то:
, где 
- единичная матрица,
, где 
- диагональная матрица
собственных значений.
Переписав уравнение (3)
в новых обозначениях, получаем последнее уравнение в данной статье:
(4)
Проведем анализ
полученного уравнения. Матрицы 
и 
- диагональные, т.е. полученная
система уравнений распадается, что уже облегчает решение. Размерность этих
матриц равна количеству определенных собственных векторов, это на порядки
меньше размерности матриц 
и 
. Как следствие - существенное уменьшение времени решения и
количества выходной информации.
В системе ИСПА уравнения
(2) и (4) решаются методом Хаболта, который
реализует абсолютно устойчивую разностную схему второго порядка аппроксимации.
Удобство работы состоит
в том, что любую конечно-элементную модель в формате ИСПА можно решить в динамической
постановке, задав только закон изменения действующих нагрузок. Комплекс
позволяет находить решение для математических моделей из упругих и твердых тел
с линейными и нелинейными соединительными элементами. Например, создается
математическая модель автомобиля. Упругая рама, кабина, платформа, двигатель
как твердое целое. Нелинейными элементами моделируется подвеска, места
крепления навесных агрегатов. Задается нагрузка, например, движение автомобиля
по определенному дорожному покрытию и после решения пользователь получает
график изменения во времени ускорения, скорости, перемещения или напряжения в
любой точке созданной модели автомобиля. Заметим, что имея значения изменения
напряжения во времени, мы выходим на расчет усталостной прочности и оценки долговечности
конструкции в целом и отдельных ее узлов.
Если внимательно
посмотреть на уравнение (4), то легко заметить, что для его решения необходимы
только собственные вектора и собственные значения. В системе ИСПА программы
расчета собственных векторов появились еще 1990 г. Было реализовано два
алгоритма: 1) – метод итерирования подпространства, 2) – алгоритм Ланцоша. Если
нужно определить большое количество собственных векторов, то необходимо
использовать метод Ланцоша. Математика самого алгоритма описана в учебниках, но
в каждой системе используется своя реализация. Это связано с численной
неустойчивостью решения (вектора Ланцоша теряют ортонормальность и решение “разваливается”).
Этому будет посвящена отдельная статья. Чтобы оценить скорость решения приведем
один пример. Для определения 1300 собственных векторов и значений отсека судна
(5000 степеней свободы) на компьютере P2-400 потребовалось 30 минут
реального времени.
Так вот, ряд организаций
еще в 90-х годах использовали ИСПА как инструмент для получения собственных
векторов и значений, а уравнение (4) решали самостоятельно. На выходе они
получали перемещение, скорость и ускорение. А вот изменение напряжения во
времени они получить не могли, так как для этого необходимы конечно-элементные
алгоритмы.
Для удобства создания
динамических моделей, их отладки, а также оценки расчетной информации создан
пре-и постпроцессор “GPROFD”. Мы не будем в данной статье
описывать возможности программы “GPROFD”, скажем только, что она
позволяет в виде последовательности кадров визуализировать колебание
конструкции.
Читатель спросит: “Где и
как можно поближе (подробнее) познакомиться с комплексом ИСПА?”. Самое простое –
на своей территории и на своем компьютере. Для этого нужно приехать в фирму “АЛЕКСОФТ”
и взять комплекс в бесплатную опытную эксплуатацию.